Milet · vers 625 – 547 av. J.-C.Thalès
« Le plus sage, c’est le temps. »
Marchand et astronome, il aurait prédit une éclipse de soleil, puis mesuré la grande pyramide avec un simple bâton. Le pharaon Amasis, dit-on, en fut ébloui.
De Samos à Gizeh
Deux savants grecs, un même voyage
Il y a 2 500 ans, sur la côte d’Ionie, deux hommes ont compris que les triangles cachent des lois. L’un les a trouvées dans les nombres, l’autre dans les ombres.
Milet · vers 625 – 547 av. J.-C.
Samos · vers 570 – 495 av. J.-C.Pythagore
« Tout est nombre. »
Il fonde à Crotone une école où l’on étudie les nombres, la musique et les astres. Son théorème servait déjà à Babylone : son école en fait une vérité démontrée.
01
Thalès
La mission pyramideÉgypte, vers 600 avant notre ère. Un savant grec, Thalès de Milet, relève un défi : mesurer la hauteur de la grande pyramide sans y grimper. Son seul outil : un bâton planté dans le sable, et le soleil. Joue la mission, étape par étape.
1
Le défi du pharaon
Le pharaon AmasisÉtranger, on dit que tu es le plus grand savant de Grèce. Alors dis-moi la hauteur de ma pyramide. Interdiction d’y monter !
ThalèsDonne-moi un bâton et une journée de soleil. Le soleil éclaire la pyramide et mon bâton de la même façon. Leurs ombres vont parler.
2
Les ombres jumelles
Déplace le soleil avec le curseur. Le bâton mesure 2 m. Observe les deux ombres quand le soleil bouge.
Ta mission : trouve l’heure où l’ombre du bâton est exactement égale à sa hauteur, 2 m.
8 h 00
3
Le moment magique
ThalèsEn ce moment, chaque objet a une ombre aussi longue que lui. La pyramide aussi ! Il suffit de mesurer son ombre. Attention : l’ombre part du centre, caché sous les pierres.
Au sol, tu mesures l’ombre qui dépasse de la pyramide : —. La moitié de la base mesure 115 m.
m
4
Sans attendre le bon moment
Thalès ne peut pas toujours attendre l’heure magique. Y a-t-il un lien entre les deux ombres à n’importe quelle heure ? Le bâton mesure h = 2 m, la pyramide H = 146 m. Voici les ombres au moment magique que tu as trouvé, et à une autre heure.
Tu viens de le trouver : à toute heure, l’ombre de la pyramide est 73 fois plus longue que celle du bâton, comme sa hauteur. Les rayons arrivent avec le même angle sur les deux : les deux triangles ont la même forme, leurs côtés sont proportionnels.
S ÷ s = H ÷ h → H = h × S ÷ s
Calcule H avec les ombres, comme si tu ne la connaissais pas. Il est —. Ombre du bâton : —. Ombre de la pyramide depuis son centre : —.
m
Astuce : passe en « vue de côté » pour voir les deux triangles.
5
Mission accomplie
Le pharaon Amasis146 mètres, sans y monter ! Tu as mesuré ma pyramide avec un bâton et une ombre.
Ce que Thalès a utilisé porte aujourd’hui son nom : quand deux triangles ont les mêmes angles, leurs côtés sont proportionnels. Passe aux exercices pour t’entraîner.
soleil : —ombre du bâton s : —ombre de la pyramide S : —
La pyramide de Khéops mesurait environ 146 m à sa construction. Elle a perdu son sommet et fait aujourd’hui 138 m.
Les rayons du soleil sont parallèles : le soleil est si loin qu’il éclaire le bâton et la pyramide sous le même angle. Toute la méthode repose là-dessus.
02
Thalès
À toi de jouerDans un triangle ABC, une droite parallèle à (BC) coupe [AB] en M et [AC] en N. Fais glisser le point M et observe les trois rapports, puis passe aux exercices.
Fais glisser le point M.
—AM ÷ AB
—AN ÷ AC
—MN ÷ BC
Tu viens de retrouver le théorème de Thalès. Si (MN) est parallèle à (BC), alors AM/AB = AN/AC = MN/BC. Ce nombre commun est le coefficient de réduction : le triangle AMN est une réduction du triangle ABC. Dans la mission, le petit triangle, c’était le bâton et son ombre. Le grand, la pyramide et la sienne.
03
Pythagore
La roue à eauPrends un triangle avec un angle droit. Sur chacun de ses trois côtés, colle un carré creux. Verse de l’eau dans les deux petits carrés, puis fais tourner la roue. Toute l’eau passe dans le grand carré. Va-t-elle le remplir, déborder, laisser du vide ? Essaie plusieurs triangles et trouve la règle.
Le simulateur
0°
3
4
90°
À angle droit, chaque roue pleine s’ajoute à ton tableau.
| a | b | c (grand côté) |
|---|
Tu viens de retrouver le théorème de Pythagore. Dans un triangle rectangle, le carré du grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres : c² = a² + b². Son école l’a démontré il y a 2 500 ans. Change l’angle : l’égalité ne tient plus.
eau de a² : 9eau de b² : 16place dans c² : 25
Glisse pour tourner la caméraCompte les petites cases : un carré de côté 3 contient 3 × 3 = 9 cases. Combien dans les deux autres ?
Change l’angle : sous 90°, le grand carré est trop petit et l’eau ne rentre pas toute. Au-dessus, il reste du vide. Seul l’angle droit tombe pile.
Le grand côté, en face de l’angle droit, s’appelle l’hypoténuse. C’est toujours lui, c.
04
Pythagore
À toi de jouerDans un triangle rectangle, c² = a² + b². Pour trouver l’hypoténuse, on additionne les carrés puis on prend la racine carrée. Pour trouver un petit côté, on soustrait. Utilise ta calculatrice si besoin.
Thalès
Deux triangles qui ont les mêmes angles ont des côtés proportionnels. Avec une ombre et un bâton, on mesure ce qu’on ne peut pas atteindre.
Pythagore
Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés : c² = a² + b². Si l’égalité est fausse, le triangle n’est pas rectangle.