Ton plan
Chaque atelier part d’une question de l’évaluation où une erreur s’est glissée. Tu retrouves la règle toi-même, puis tu t’entraînes jusqu’à trois bonnes réponses. Commence par ceux que l’évaluation signale en premier.
Ta progression reste dans ce navigateur. Elle apparaît aussi dans le suivi.
Le quart de tour
Faire tourner un point autour de l’origine, c’est un classique de la 3e. Le piège, c’est le sens. Déplace le point A, regarde où arrive son image A′, puis fais une hypothèse sur la règle.
Autocollant à gagner- Déplace A : glisse-le sur le repère, ou utilise les boutons.
- Regarde où arrive son image A′.
- Clique sur « Noter » pour garder l’observation dans le tableau.
| A | A′ | Sens |
|---|
La règle
Quart de tour dans le sens inverse des aiguilles : (x ; y) devient (−y ; x).
Quart de tour dans le sens des aiguilles : (x ; y) devient (y ; −x).
Les deux coordonnées s’échangent, et l’une des deux change de signe. Pour ne pas se tromper de sens, regarde où vont les points repères (1 ; 0) et (0 ; 1).
N’en oublie aucun
Une équation peut avoir deux solutions, un nombre peut avoir plusieurs antécédents, et un nombre a plus de diviseurs qu’on ne le croit. Dans les trois cas, le piège est de s’arrêter à la première réponse trouvée.
Autocollant à gagnerLes solutions de x² = k
- Choisis une courbe : la parabole y = x² ou une courbe quelconque.
- Déplace la droite horizontale y = k avec le curseur.
- Compte les points où elle coupe la courbe, et lis leurs abscisses.
À retenir
Pour k > 0, l’équation x² = k a deux solutions : √k et −√k.
Et pour une courbe quelconque, on lit tous les points où la droite la coupe : un nombre peut avoir un, deux, trois antécédents, ou aucun.
Compter les diviseurs
- Choisis un nombre.
- Regarde ses diviseurs rangés par paires : chaque paire donne deux diviseurs.
- Compare avec sa décomposition en facteurs premiers.
| Nombre | Décomposition | Diviseurs |
|---|
À retenir
Si n = 2ᵃ × 3ᵇ, alors n a (a + 1) × (b + 1) diviseurs.
Chaque diviseur choisit son nombre de facteurs 2 (de 0 à a : a + 1 choix) et son nombre de facteurs 3 (de 0 à b : b + 1 choix). Les choix se multiplient.
Lire un graphique sans se tromper
Lire un graphique, c’est repérer ce qu’on te demande : une pente, une ordonnée, une hauteur. Ici, on cherche d’abord la pente a d’une droite en avançant et en mesurant.
Autocollant à gagner- Pars du point violet, là où la droite coupe l’axe vertical.
- Avance de Δx vers la droite avec le curseur.
- Regarde de combien y monte ou descend, puis compare avec la pente de la droite.
| Δx | Δy | Δy ÷ Δx |
|---|
À retenir
a = Δy ÷ Δx, et b est l’ordonnée du point d’abscisse 0.
Trois réflexes de lecture : la pente se mesure en avançant d’abord (Δy ÷ Δx, pas l’inverse) ; un maximum se lit sur l’axe vertical, c’est une hauteur ; un pourcentage, c’est la part divisée par le total.
Les pièges du triangle
Trois situations où l’on se trompe vite : trouver un angle avec la trigonométrie, calculer les angles d’un triangle isocèle, savoir si deux droites sont parallèles. À chaque fois, tu observes d’abord, puis tu fais ton hypothèse.
Autocollant à gagnerTrouver un angle
- Change l’angle B et la taille du triangle.
- Regarde les rapports de côtés : ils dépendent de l’angle, pas de la taille.
- Essaie la calculatrice des angles : donne un rapport, elle rend l’angle en degrés.
| Rapport | Valeur |
|---|
À retenir
On connaît AB et BC : le rapport AB ÷ BC est le cosinus de B. Donc B = cos⁻¹(AB ÷ BC).
Pour choisir entre sin, cos et tan, nomme d’abord les deux côtés que tu connais : adjacent et hypoténuse donnent le cosinus, opposé et hypoténuse le sinus, opposé et adjacent la tangente. Et la calculatrice doit être en degrés.
Le triangle isocèle
- Change l’angle au sommet R.
- Regarde les deux angles à la base, toujours égaux.
- Cherche ce qui relie l’angle au sommet et ces deux angles.
À retenir
Chaque angle à la base mesure (180° − angle au sommet) ÷ 2.
La somme des angles d’un triangle fait 180°, et les deux angles à la base sont égaux : on partage ce qui reste en deux. Attention à ne pas diviser l’angle au sommet lui-même.
Parallèles ou pas ?
- Déplace M sur [AB] et N sur [AC].
- Compare les deux rapports AM ÷ AB et AN ÷ AC.
- Repère le moment où la droite (MN) devient verte.
À retenir
(MN) // (BC) quand AM ÷ AB = AN ÷ AC, avec M, A, B alignés dans le même ordre que N, A, C.
On compare des rapports, pas des différences : AB − AM = AC − AN ne prouve rien. Si les deux rapports sont égaux, les droites sont parallèles. S’ils sont différents, elles ne le sont pas.
Les unités qui explosent
Pour une longueur, 1 m = 100 cm. Pour une aire ou un volume, les nombres grossissent bien plus vite. Découpe un mètre carré, puis un mètre cube, et compte les petits morceaux.
Autocollant à gagner- Choisis un carré (aire) ou un cube (volume) de 1 m de côté.
- Choisis l’unité des petits morceaux : dm, cm ou mm.
- Lis combien il en faut pour remplir la figure.
À retenir
Quand l’unité de longueur est 10 fois plus petite, les nombres d’aires sont multipliés par 100 et les nombres de volumes par 1 000.
1 m² = 100 dm² = 10 000 cm², et 1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 000 cm³. Pour un remplissage, convertis d’abord toutes les longueurs dans la même unité, puis calcule.
Les problèmes costauds
Ces problèmes ne demandent pas de formule nouvelle, mais de prendre le temps de poser la situation. Quatre situations : une note à viser, un sac de boules, une boucle, une preuve avec des lettres.
Autocollant à gagnerLa note à viser
- Fixe la moyenne que tu veux atteindre.
- Essaie des notes pour le dernier devoir.
- Cherche la note qui fait pile la moyenne visée.
À retenir
n = (T × (C + c) − S) ÷ c
On calcule d’abord le total de points qu’il faut avoir (objectif × somme des coefficients), puis on retire les points déjà gagnés, puis on divise par le coefficient du dernier devoir. Viser la note T elle-même (n = T) ne marche que si ta moyenne actuelle est déjà T.
Le sac de boules
- Ajoute des boules rouges ou noires.
- Regarde la probabilité de tirer une rouge.
- Remarque que le nombre de boules au total change aussi.
À retenir
Si on ajoute x boules rouges : P(rouge) = (3 + x) ÷ (8 + x).
Une boule ajoutée augmente le numérateur et le dénominateur à la fois. Pour viser une probabilité précise, on écrit l’égalité avec les deux et on la résout.
La boucle du lutin
- Choisis le nombre de tours n.
- Fais tourner la boucle un tour à la fois et lis le tableau.
- Regarde la valeur que le lutin dit à la fin.
# n : le nombre de tours (le curseur) s = 0 k = 1 for tour in range(n): s = s + k k = k * 2 print(s)
| Tour | On ajoute k | s devient |
|---|
À retenir
Après n tours, s = 1 + 2 + 4 + … + 2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ − 1.
Pour comprendre un programme, déroule-le à la main avec un petit n et note les valeurs dans un tableau. La règle apparaît ensuite toute seule.
La preuve avec des lettres
- Choisis une situation : somme ou produit d’entiers consécutifs.
- Ajoute des exemples et regarde les colonnes de divisibilité.
- Cherche la propriété qui marche pour tous, pas seulement pour certains.
| n | Valeur | ÷ 2 | ÷ 3 | ÷ 4 | ÷ 5 | ÷ 6 |
|---|
À retenir
(2n + 1) + (2n + 3) = 4n + 4 = 4(n + 1) : c’est toujours un multiple de 4.
Quelques exemples ne prouvent rien. Une preuve écrit le nombre avec une lettre (n, ou 2n + 1 pour un impair), développe, puis factorise pour faire apparaître la propriété. Il faut ensuite choisir la propriété la plus forte : ici 4, pas seulement 2.
Fractions et racines sans filet
Les fractions et les racines carrées se calculent avec quelques règles très sûres. Ici, on teste une règle sur les racines : essaie des nombres, puis choisis ce qui reste vrai à chaque fois.
Autocollant à gagner- Écris deux nombres positifs a et b.
- Regarde les quatre lignes affichées : laquelle donne toujours le même résultat que √a × √b ?
- Essaie des carrés parfaits (4, 9, 25) puis d’autres nombres (2, 3, 7).
À retenir
Pour a et b positifs : √a × √b = √(a × b), et √a ÷ √b = √(a ÷ b).
Mais √(a + b) n’est pas √a + √b : √9 + √16 = 7, alors que √25 = 5. Pour les fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, on divise en multipliant par l’inverse, et on simplifie à la fin.
Et maintenant ?
Trois bonnes réponses dans un atelier, et l’autocollant est à toi.
Pour aller plus loin
Des cours et des exercices corrigés pour s’exercer sur papier, et trois outils gratuits pour tout tracer soi-même. Les liens s’ouvrent dans un nouvel onglet.